<doc:document xmlns:doc="http://www.elsevier.com/xml/document/schema" xmlns:dp="http://www.elsevier.com/xml/common/doc-properties/schema" xmlns:cps="http://www.elsevier.com/xml/common/consyn-properties/schema" xmlns:rdf="http://www.w3.org/1999/02/22-rdf-syntax-ns#" xmlns:dct="http://purl.org/dc/terms/" xmlns:prism="http://prismstandard.org/namespaces/basic/2.0/" xmlns:oa="http://vtw.elsevier.com/data/ns/properties/OpenAccess-1/" xmlns:cp="http://vtw.elsevier.com/data/ns/properties/Copyright-1/" xmlns:cja="http://www.elsevier.com/xml/cja/schema" xmlns:ja="http://www.elsevier.com/xml/ja/schema" xmlns:bk="http://www.elsevier.com/xml/bk/schema" xmlns:ce="http://www.elsevier.com/xml/common/schema" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:cals="http://www.elsevier.com/xml/common/cals/schema" xmlns:tb="http://www.elsevier.com/xml/common/table/schema" xmlns:sa="http://www.elsevier.com/xml/common/struct-aff/schema" xmlns:sb="http://www.elsevier.com/xml/common/struct-bib/schema" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><rdf:RDF><rdf:Description rdf:about="http://dx.doi.org/10.1016/j.physletb.2012.11.022"><dct:format>application/xml</dct:format><dct:title>An analytical expression of the asymptotic QED cross-section of four lepton two pair production in γγ collisions</dct:title><dct:creator>W. da Silva</dct:creator><dct:creator>F. Kapusta</dct:creator><dct:description>Physics Letters B 718 (2012) 577-578. doi:10.1016/j.physletb.2012.11.022</dct:description><prism:aggregationType>journal</prism:aggregationType><prism:publicationName>Physics Letters B</prism:publicationName><prism:copyright>Copyright © 2012 Elsevier B.V. All rights reserved.</prism:copyright><dct:publisher>Elsevier B.V.</dct:publisher><prism:issn>0370-2693</prism:issn><prism:volume>718</prism:volume><prism:number>2</prism:number><prism:coverDisplayDate>5 December 2012</prism:coverDisplayDate><prism:coverDate>2012-12-05</prism:coverDate><prism:pageRange>577-578</prism:pageRange><prism:startingPage>577</prism:startingPage><prism:endingPage>578</prism:endingPage><prism:doi>10.1016/j.physletb.2012.11.022</prism:doi><prism:url>http://dx.doi.org/10.1016/j.physletb.2012.11.022</prism:url><dct:identifier>doi:10.1016/j.physletb.2012.11.022</dct:identifier><oa:openAccessInformation><oa:openAccessStatus xmlns:xsi="http://www.w3.org/2001/XMLSchema-instance">http://vtw.elsevier.com/data/voc/oa/OpenAccessStatus#Full</oa:openAccessStatus><oa:openAccessEffective xmlns:xsi="http://www.w3.org/2001/XMLSchema-instance">2014-01-01T00:14:32Z</oa:openAccessEffective><oa:sponsor xmlns:xsi="http://www.w3.org/2001/XMLSchema-instance"><oa:sponsorName>SCOAP3 - Sponsoring Consortium for Open Access Publishing in Particle Physics</oa:sponsorName><oa:sponsorType>http://vtw.elsevier.com/data/voc/oa/SponsorType#FundingBody</oa:sponsorType></oa:sponsor><oa:userLicense xmlns:xsi="http://www.w3.org/2001/XMLSchema-instance">http://creativecommons.org/licenses/by/3.0/</oa:userLicense></oa:openAccessInformation></rdf:Description></rdf:RDF><dp:document-properties><dp:aggregation-type>Journals</dp:aggregation-type><dp:version-number>S300.3</dp:version-number></dp:document-properties><ja:article docsubtype="sco" xml:lang="en" version="5.1"><ja:item-info><ja:jid>PLB</ja:jid><ja:aid>29024</ja:aid><ce:pii>S0370-2693(12)01173-2</ce:pii><ce:doi>10.1016/j.physletb.2012.11.022</ce:doi><ce:copyright type="full-transfer" year="2012">Elsevier B.V.</ce:copyright><ce:doctopics><ce:doctopic><ce:text>Phenomenology</ce:text></ce:doctopic></ce:doctopics></ja:item-info><ja:head><ce:title>An analytical expression of the asymptotic QED cross-section of four lepton two pair production in <ce:italic>γγ</ce:italic> collisions</ce:title><ce:author-group><ce:author><ce:given-name>W.</ce:given-name><ce:surname>da Silva</ce:surname><ce:cross-ref refid="aff001"><ce:sup loc="post">a</ce:sup></ce:cross-ref></ce:author><ce:author><ce:given-name>F.</ce:given-name><ce:surname>Kapusta</ce:surname><ce:cross-ref refid="aff002"><ce:sup loc="post">b</ce:sup></ce:cross-ref><ce:cross-ref refid="cr0010"><ce:sup loc="post">⁎</ce:sup></ce:cross-ref><ce:e-address type="email">kapusta@in2p3.fr</ce:e-address></ce:author><ce:affiliation id="aff001"><ce:label>a</ce:label><ce:textfn>Université Pierre et Marie Curie, LPNHE, Paris, France</ce:textfn></ce:affiliation><ce:affiliation id="aff002"><ce:label>b</ce:label><ce:textfn>CNRS/IN2P3, LPNHE, Paris, France</ce:textfn></ce:affiliation><ce:correspondence id="cr0010"><ce:label>⁎</ce:label><ce:text>Corresponding author.</ce:text></ce:correspondence></ce:author-group><ce:date-received day="3" month="10" year="2012"/><ce:date-revised day="24" month="10" year="2012"/><ce:date-accepted day="8" month="11" year="2012"/><ce:miscellaneous>Editor: A. Ringwald</ce:miscellaneous><ce:abstract class="author"><ce:section-title>Abstract</ce:section-title><ce:abstract-sec><ce:simple-para id="sp0010" view="all">For the first time we have obtained an analytical QED asymptotic formula for the <ce:italic>γγ</ce:italic> production of two lepton pair with equal or unequal masses.</ce:simple-para></ce:abstract-sec></ce:abstract></ja:head><ja:body view="all"><ce:sections><ce:section id="se0010" view="all"><ce:label>1</ce:label><ce:section-title>Introduction</ce:section-title><ce:para id="pr0010" view="all">The total cross-section of two identical lepton pair production at infinite energy in <ce:italic>γγ</ce:italic> collisions has been computed long time ago <ce:cross-refs refid="br0010 br0020 br0030 br0040">[1–4]</ce:cross-refs>, and the corresponding total and differential cross-sections of different two pair produced have been obtained with logarithmic approximation only <ce:cross-ref refid="br0050">[5]</ce:cross-ref>. We give here an analytical formula for the asymptotic cross-section of the production of two lepton pair in two-photon collisions. Two types of diagrams contribute: peripheral and bremsstrahlung. At the level of the total cross-section, only the first ones give an asymptotic non-null constant value. We proceed as the authors of reference <ce:cross-ref refid="br0050">[5]</ce:cross-ref> and keep only the two diagrams (a) and (b) of their Fig. 1, neglecting too their interference. The main ingredient used in our present approach is the factorization formula obtained in the framework of a generalized helicity method for the Feynman diagram calculations <ce:cross-ref refid="br0060">[6]</ce:cross-ref>.</ce:para></ce:section><ce:section id="se0020" view="all"><ce:label>2</ce:label><ce:section-title>The factorization formula</ce:section-title><ce:para id="pr0020" view="all">The corresponding differential cross-section is given by the expression (2.1) of reference <ce:cross-ref refid="br0060">[6]</ce:cross-ref> applied to our case:<ce:display><ce:formula id="fm0010"><ce:label>(1)</ce:label><mml:math altimg="si1.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>d</mml:mi><mml:mi>σ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>d</mml:mi><mml:mi>t</mml:mi><mml:mspace width="0.2em"/><mml:mi>d</mml:mi><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>W</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mspace width="0.2em"/><mml:mi>d</mml:mi><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>W</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>′</mml:mo><mml:mspace width="0.2em"/><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>W</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>W</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>′</mml:mo><mml:mspace width="0.2em"/><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>8</mml:mn><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>π</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>s</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mrow><mml:mo>[</mml:mo><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>c</mml:mi><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mspace width="0.2em"/><mml:mi>θ</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>σ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>T</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>σ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>T</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>′</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>s</mml:mi><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mspace width="0.2em"/><mml:mi>θ</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>σ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>T</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>σ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>L</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>′</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>σ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>L</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>σ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>T</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>′</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>c</mml:mi><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mspace width="0.2em"/><mml:mi>θ</mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>σ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>L</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>σ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>L</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>′</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>]</mml:mo></mml:mrow></mml:math></ce:formula></ce:display> where <ce:italic>s</ce:italic> is the <ce:italic>γγ</ce:italic> invariant mass squared, <ce:italic>W</ce:italic> and <mml:math altimg="si2.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>W</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>′</mml:mo></mml:mrow></mml:msup></mml:math> the two pair masses, <ce:italic>m</ce:italic> and <mml:math altimg="si3.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>′</mml:mo></mml:mrow></mml:msup></mml:math> the two lepton masses and −<ce:italic>t</ce:italic> the exchanged space-like photon squared mass. <mml:math altimg="si4.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>σ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>T</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:math> and <mml:math altimg="si5.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>σ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>L</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:math> are the transverse and longitudinal cross-sections of virtual photoproduction at one vertex, given in Appendix B of reference <ce:cross-ref refid="br0060">[6]</ce:cross-ref> and written here for completeness:<ce:display><ce:formula id="fm0020"><ce:label>(2)</ce:label><ce:formula id="fm0030"><mml:math altimg="si6.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>σ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>T</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mn>4</mml:mn><mml:mi>π</mml:mi><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mi>β</mml:mi><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>W</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow><mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>W</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mfrac><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn><mml:mo>−</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>4</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mo stretchy="false">/</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>W</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>4</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>β</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mi mathvariant="normal">ln</mml:mi><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>β</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>β</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>W</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mfrac><mml:mo>+</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>−</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mo>−</mml:mo><mml:mfrac><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>W</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>4</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mfrac><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mspace width="1em"/><mml:mtext>with </mml:mtext><mml:mi>β</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:msqrt><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>−</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mn>4</mml:mn><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>W</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mfrac></mml:mrow></mml:msqrt></mml:math></ce:formula><ce:formula id="fm0040"><mml:math altimg="si7.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>σ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>L</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mn>16</mml:mn><mml:mi>π</mml:mi><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mi>β</mml:mi><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>W</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mfrac><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>−</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>−</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>β</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mi mathvariant="normal">ln</mml:mi><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>β</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>β</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:math></ce:formula></ce:formula></ce:display> and <mml:math altimg="si8.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>σ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>T</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>′</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup></mml:math>, <mml:math altimg="si9.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>σ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>L</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>′</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup></mml:math> the analogous ones at the other vertex. <ce:italic>iθ</ce:italic> is the imaginary rotation angle between the two vertices planes <ce:cross-ref refid="br0060">[6]</ce:cross-ref>. Writing<ce:display><ce:formula id="fm0050"><ce:label>(3)</ce:label><mml:math altimg="si10.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>c</mml:mi><mml:mi>h</mml:mi><mml:mspace width="0.2em"/><mml:mi>θ</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>w</mml:mi><mml:mo>−</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mspace width="1em"/><mml:mtext>with </mml:mtext><mml:mi>w</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>s</mml:mi><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>W</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>W</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>′</mml:mo><mml:mspace width="0.2em"/><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mfrac></mml:math></ce:formula></ce:display> we have <mml:math altimg="si11.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>s</mml:mi><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mspace width="0.2em"/><mml:mi>θ</mml:mi><mml:mo>≃</mml:mo><mml:mi>c</mml:mi><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mspace width="0.2em"/><mml:mi>θ</mml:mi><mml:mo>≃</mml:mo><mml:mn>4</mml:mn><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>w</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:math> for large center of mass energy. In that case, the right hand side member of equation <ce:cross-ref refid="fm0010">(1)</ce:cross-ref> factorizes:<ce:display><ce:formula id="fm0060"><ce:label>(4)</ce:label><mml:math altimg="si12.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>d</mml:mi><mml:mi>σ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>d</mml:mi><mml:mi>t</mml:mi><mml:mspace width="0.2em"/><mml:mi>d</mml:mi><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>W</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mspace width="0.2em"/><mml:mi>d</mml:mi><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>W</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>′</mml:mo><mml:mspace width="0.2em"/><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>W</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>W</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>′</mml:mo><mml:mspace width="0.2em"/><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>π</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>σ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>T</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>σ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>L</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>W</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mfrac><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>σ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>T</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>′</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>+</mml:mo><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>σ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>L</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>′</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>W</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>′</mml:mo><mml:mspace width="0.2em"/><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mfrac></mml:math></ce:formula></ce:display></ce:para></ce:section><ce:section id="se0030" view="all"><ce:label>3</ce:label><ce:section-title>Analytic formula for two pairs <ce:italic>γγ</ce:italic> production at infinite energy</ce:section-title><ce:para id="pr0030" view="all">After integrating over the invariant mass of each pair of different masses leptons, we obtain when the <ce:italic>γγ</ce:italic> invariant mass goes to infinity:<ce:display><ce:formula id="fm0070"><ce:label>(5)</ce:label><mml:math altimg="si13.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>σ</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mn>8</mml:mn><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>4</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>9</mml:mn><mml:mi>π</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:munderover><mml:mo>∫</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>∞</mml:mo></mml:munderover><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>d</mml:mi><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mfrac><mml:mi>F</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>X</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>X</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>′</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mspace width="1em"/><mml:mtext>with </mml:mtext><mml:mi>X</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:msqrt><mml:mfrac><mml:mi>t</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>4</mml:mn><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:mfrac></mml:msqrt><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="1em"/><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>X</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>′</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>=</mml:mo><mml:msqrt><mml:mfrac><mml:mi>t</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>4</mml:mn><mml:msup><mml:mrow><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>′</mml:mo></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:mfrac></mml:msqrt><mml:mspace width="1em"/><mml:mtext>and</mml:mtext><mml:mspace width="1em"/><mml:mi>F</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>X</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>+</mml:mo><mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn><mml:mn>2</mml:mn></mml:mfrac><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mn>5</mml:mn><mml:mi>X</mml:mi><mml:mo>−</mml:mo><mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn><mml:mi>X</mml:mi></mml:mfrac><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">ln</mml:mi><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>X</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>X</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac></mml:math></ce:formula></ce:display> The logarithm argument can be factorized using the following parametrization, with <mml:math altimg="si14.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>⩽</mml:mo><mml:mi>y</mml:mi><mml:mo>⩽</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:math>:<ce:display><ce:formula id="fm0080"><ce:label>(6)</ce:label><mml:math altimg="si15.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>X</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>z</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mi>y</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>z</mml:mi><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>y</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mspace width="1em"/><mml:mtext>implying</mml:mtext><mml:mspace width="1em"/><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>X</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>′</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>z</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mi>y</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>z</mml:mi><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>y</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:mfrac></mml:math></ce:formula></ce:display> and <mml:math altimg="si16.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>z</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>−</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>′</mml:mo></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>′</mml:mo></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:mfrac></mml:math>. We choose <mml:math altimg="si17.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>z</mml:mi><mml:mo>></mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:math>. Then with<ce:display><ce:formula id="fm0090"><ce:label>(7)</ce:label><mml:math altimg="si18.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>d</mml:mi><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mfrac><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>m</mml:mi><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>′</mml:mo></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mspace width="0.2em"/><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>d</mml:mi><mml:mi>y</mml:mi></mml:mrow><mml:mi>y</mml:mi></mml:mfrac><mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn><mml:mrow><mml:mi>X</mml:mi><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>X</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>′</mml:mo></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:mfrac></mml:math></ce:formula></ce:display> the cross-section is expressed as:<ce:display><ce:formula id="fm0100"><ce:label>(8)</ce:label><mml:math altimg="si19.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>σ</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mn>4</mml:mn><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>4</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>9</mml:mn><mml:mi>π</mml:mi><mml:mi>m</mml:mi><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>′</mml:mo></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:mfrac><mml:munderover><mml:mo>∫</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mn>1</mml:mn></mml:munderover><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>d</mml:mi><mml:mi>y</mml:mi></mml:mrow><mml:mi>y</mml:mi></mml:mfrac><mml:mspace width="0.2em"/><mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn><mml:mi>X</mml:mi></mml:mfrac><mml:mi>F</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>X</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>X</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>′</mml:mo></mml:mrow></mml:msup></mml:mfrac><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>X</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>′</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:math></ce:formula></ce:display></ce:para><ce:para id="pr0040" view="all">Introducing <mml:math altimg="si20.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>L</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>y</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>z</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi mathvariant="normal">ln</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>z</mml:mi><mml:mi>y</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>z</mml:mi><mml:mi>y</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:math> we have now:<ce:display><ce:formula id="fm0110"><ce:label>(9)</ce:label><mml:math altimg="si21.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn><mml:mi>X</mml:mi></mml:mfrac><mml:mi>F</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>X</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>X</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>′</mml:mo></mml:mrow></mml:msup></mml:mfrac><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>X</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>′</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn><mml:mrow><mml:mi>X</mml:mi><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>X</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>′</mml:mo></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>+</mml:mo><mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn><mml:mn>2</mml:mn></mml:mfrac><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn><mml:mi>X</mml:mi></mml:mfrac><mml:mo>+</mml:mo><mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>X</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>′</mml:mo></mml:mrow></mml:msup></mml:mfrac><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mn>5</mml:mn><mml:mo>−</mml:mo><mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn><mml:mrow><mml:mi>X</mml:mi><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>X</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>′</mml:mo></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>L</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>y</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>+</mml:mo><mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn><mml:mn>2</mml:mn></mml:mfrac><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn><mml:mi>X</mml:mi></mml:mfrac><mml:mo>−</mml:mo><mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>X</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>′</mml:mo></mml:mrow></mml:msup></mml:mfrac><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mn>5</mml:mn><mml:mo>+</mml:mo><mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn><mml:mrow><mml:mi>X</mml:mi><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>X</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>′</mml:mo></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>L</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>y</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>z</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>+</mml:mo><mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn><mml:mn>4</mml:mn></mml:mfrac><mml:mrow><mml:mo>[</mml:mo><mml:mn>25</mml:mn><mml:mo>−</mml:mo><mml:mn>5</mml:mn><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>X</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mfrac><mml:mo>+</mml:mo><mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>X</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>′</mml:mo><mml:mspace width="0.2em"/><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mfrac><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>+</mml:mo><mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn><mml:mrow><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>X</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>X</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>′</mml:mo><mml:mspace width="0.2em"/><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>]</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>[</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>L</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>y</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>−</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>L</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>y</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>z</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>]</mml:mo></mml:mrow></mml:math></ce:formula></ce:display> The product of logarithms has now disappeared and after integration, apart from logarithms and polynomials in <mml:math altimg="si22.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>u</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>z</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>z</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac></mml:math>, we recognize in:<ce:display><ce:formula id="fm0120"><ce:label>(10)</ce:label><mml:math altimg="si23.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>P</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>u</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:munderover><mml:mo>∫</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mn>1</mml:mn></mml:munderover><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>d</mml:mi><mml:mi>y</mml:mi></mml:mrow><mml:mi>y</mml:mi></mml:mfrac><mml:mrow><mml:mo>[</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>L</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>y</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>−</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>L</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>y</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>z</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>]</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">ln</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mi>u</mml:mi><mml:mi mathvariant="normal">ln</mml:mi><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>u</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>u</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>−</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi mathvariant="normal">ln</mml:mi><mml:mi>u</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>[</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">Li</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>u</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>−</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">Li</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>u</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>]</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mrow><mml:mo>[</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">Li</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>u</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>−</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">Li</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>u</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>]</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>Λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>u</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>−</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>Λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>u</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:math></ce:formula></ce:display> the difference of the two Kummer functions <ce:cross-ref refid="br0070">[7]</ce:cross-ref>.</ce:para><ce:para id="pr0050" view="all">The final result is with <mml:math altimg="si24.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>u</mml:mi><mml:mo>≠</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:math> or <mml:math altimg="si25.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>z</mml:mi><mml:mo>≠</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:math>:<ce:display><ce:formula id="fm0130"><ce:label>(11)</ce:label><mml:math altimg="si26.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>σ</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mn>4</mml:mn><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>4</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>9</mml:mn><mml:mi>π</mml:mi><mml:mi>m</mml:mi><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>′</mml:mo></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mrow><mml:mo>{</mml:mo><mml:mfrac><mml:mn>19</mml:mn><mml:mn>16</mml:mn></mml:mfrac><mml:mrow><mml:mo>[</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn><mml:mi>u</mml:mi></mml:mfrac><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>u</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">ln</mml:mi><mml:mi>u</mml:mi><mml:mo>−</mml:mo><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn><mml:mi>u</mml:mi></mml:mfrac><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>u</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mo>+</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">ln</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mi>u</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>]</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>+</mml:mo><mml:mrow><mml:mo>[</mml:mo><mml:mfrac><mml:mn>25</mml:mn><mml:mn>4</mml:mn></mml:mfrac><mml:mo>+</mml:mo><mml:mfrac><mml:mn>19</mml:mn><mml:mn>32</mml:mn></mml:mfrac><mml:msup><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn><mml:mi>u</mml:mi></mml:mfrac><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>u</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>]</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>P</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>u</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>}</mml:mo></mml:mrow></mml:math></ce:formula></ce:display></ce:para><ce:para id="pr0060" view="all">When the two masses are very different, i.e. <mml:math altimg="si27.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>≫</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>′</mml:mo></mml:mrow></mml:msup></mml:math> in our case:<ce:display><ce:formula id="fm0140"><ce:label>(12)</ce:label><mml:math altimg="si28.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>σ</mml:mi><mml:mo>≃</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mn>28</mml:mn><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>4</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>27</mml:mn><mml:mi>π</mml:mi><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">ln</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>u</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>−</mml:mo><mml:mfrac><mml:mn>103</mml:mn><mml:mn>21</mml:mn></mml:mfrac><mml:mi mathvariant="normal">ln</mml:mi><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>u</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>+</mml:mo><mml:mfrac><mml:mn>485</mml:mn><mml:mn>63</mml:mn></mml:mfrac><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:math></ce:formula></ce:display> in agreement with the computation of <ce:cross-ref refid="br0050">[5]</ce:cross-ref>, which in the case of <mml:math altimg="si29.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>e</mml:mi><mml:mi>e</mml:mi><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mi>μ</mml:mi></mml:math> production, agrees with the exact expression within a relative accuracy of <mml:math altimg="si30.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:msup><mml:mrow><mml:mn>10</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>−</mml:mo><mml:mn>5</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:math>.</ce:para><ce:para id="pr0070" view="all">For equal masses, the previous computation can be extended to <mml:math altimg="si31.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>z</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:math> and the expression obtained dividing by 2 in order to take into account the effect of identical particles coincides with the formula for identical pair production <ce:cross-refs refid="br0010 br0020">[1,2]</ce:cross-refs>:<ce:display><ce:formula id="fm0150"><ce:label>(13)</ce:label><mml:math altimg="si32.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>σ</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>4</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mrow><mml:mi>π</mml:mi><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mfrac><mml:mn>175</mml:mn><mml:mn>36</mml:mn></mml:mfrac><mml:mi>ζ</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>3</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>−</mml:mo><mml:mfrac><mml:mn>19</mml:mn><mml:mn>18</mml:mn></mml:mfrac><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:math></ce:formula></ce:display></ce:para></ce:section><ce:section id="se0040" view="all"><ce:label>4</ce:label><ce:section-title>Conclusions</ce:section-title><ce:para id="pr0080" view="all">The analytical QED asymptotic formula <ce:cross-ref refid="fm0130">(11)</ce:cross-ref> for the <ce:italic>γγ</ce:italic> production of two lepton pair with equal or unequal masses has been obtained for the first time.</ce:para></ce:section></ce:sections><ce:acknowledgment><ce:section-title>Acknowledgements</ce:section-title><ce:para id="pr0090" view="all">We thank N. Arteaga for useful discussions.</ce:para></ce:acknowledgment></ja:body><ja:tail view="all"><ce:bibliography id="bl0010" view="all"><ce:section-title>References</ce:section-title><ce:bibliography-sec id="bs0010"><ce:bib-reference id="br0010"><ce:label>[1]</ce:label><sb:reference><sb:contribution langtype="en"><sb:authors><sb:author><ce:given-name>L.N.</ce:given-name><ce:surname>Lipatov</ce:surname></sb:author><sb:author><ce:given-name>G.V.</ce:given-name><ce:surname>Frolov</ce:surname></sb:author></sb:authors></sb:contribution><sb:host><sb:issue><sb:series><sb:title><sb:maintitle>ZhETF Pisma. Red.</sb:maintitle></sb:title><sb:volume-nr>10</sb:volume-nr></sb:series><sb:date>1969</sb:date></sb:issue><sb:pages><sb:first-page>399</sb:first-page></sb:pages></sb:host></sb:reference><sb:reference><sb:contribution langtype="en"><sb:authors><sb:author><ce:given-name>L.N.</ce:given-name><ce:surname>Lipatov</ce:surname></sb:author><sb:author><ce:given-name>G.V.</ce:given-name><ce:surname>Frolov</ce:surname></sb:author></sb:authors></sb:contribution><sb:host><sb:issue><sb:series><sb:title><sb:maintitle>JETP Lett.</sb:maintitle></sb:title><sb:volume-nr>10</sb:volume-nr></sb:series><sb:date>1969</sb:date></sb:issue><sb:pages><sb:first-page>254</sb:first-page></sb:pages></sb:host></sb:reference></ce:bib-reference><ce:bib-reference id="br0020"><ce:label>[2]</ce:label><sb:reference><sb:contribution langtype="en"><sb:authors><sb:author><ce:given-name>H.</ce:given-name><ce:surname>Cheng</ce:surname></sb:author><sb:author><ce:given-name>T.T.</ce:given-name><ce:surname>Wu</ce:surname></sb:author></sb:authors></sb:contribution><sb:host><sb:issue><sb:series><sb:title><sb:maintitle>Phys. Rev. D</sb:maintitle></sb:title><sb:volume-nr>1</sb:volume-nr></sb:series><sb:date>1970</sb:date></sb:issue><sb:pages><sb:first-page>3414</sb:first-page></sb:pages></sb:host></sb:reference></ce:bib-reference><ce:bib-reference id="br0030"><ce:label>[3]</ce:label><sb:reference><sb:contribution langtype="en"><sb:authors><sb:author><ce:given-name>V.G.</ce:given-name><ce:surname>Serbo</ce:surname></sb:author></sb:authors></sb:contribution><sb:host><sb:issue><sb:series><sb:title><sb:maintitle>ZhETF Pisma. Red.</sb:maintitle></sb:title><sb:volume-nr>12</sb:volume-nr></sb:series><sb:date>1970</sb:date></sb:issue><sb:pages><sb:first-page>39</sb:first-page></sb:pages></sb:host></sb:reference></ce:bib-reference><ce:bib-reference id="br0040"><ce:label>[4]</ce:label><sb:reference><sb:contribution langtype="en"><sb:authors><sb:author><ce:given-name>R.W.</ce:given-name><ce:surname>Brown</ce:surname></sb:author><sb:author><ce:given-name>W.F.</ce:given-name><ce:surname>Hunt</ce:surname></sb:author><sb:author><ce:given-name>K.O.</ce:given-name><ce:surname>Mikaelian</ce:surname></sb:author><sb:author><ce:given-name>I.J.</ce:given-name><ce:surname>Muzinich</ce:surname></sb:author></sb:authors></sb:contribution><sb:host><sb:issue><sb:series><sb:title><sb:maintitle>Phys. Rev. D</sb:maintitle></sb:title><sb:volume-nr>8</sb:volume-nr></sb:series><sb:date>1973</sb:date></sb:issue><sb:pages><sb:first-page>3083</sb:first-page></sb:pages></sb:host></sb:reference></ce:bib-reference><ce:bib-reference id="br0050"><ce:label>[5]</ce:label><sb:reference><sb:contribution langtype="en"><sb:authors><sb:author><ce:given-name>E.A.</ce:given-name><ce:surname>Kuraev</ce:surname></sb:author><sb:author><ce:given-name>A.</ce:given-name><ce:surname>Schiller</ce:surname></sb:author><sb:author><ce:given-name>V.G.</ce:given-name><ce:surname>Serbo</ce:surname></sb:author></sb:authors></sb:contribution><sb:host><sb:issue><sb:series><sb:title><sb:maintitle>Nucl. Phys. B</sb:maintitle></sb:title><sb:volume-nr>256</sb:volume-nr></sb:series><sb:date>1985</sb:date></sb:issue><sb:pages><sb:first-page>189</sb:first-page></sb:pages></sb:host></sb:reference></ce:bib-reference><ce:bib-reference id="br0060"><ce:label>[6]</ce:label><sb:reference><sb:contribution langtype="en"><sb:authors><sb:author><ce:given-name>C.</ce:given-name><ce:surname>Carimalo</ce:surname></sb:author><sb:author><ce:given-name>G.</ce:given-name><ce:surname>Cochard</ce:surname></sb:author><sb:author><ce:given-name>P.</ce:given-name><ce:surname>Kessler</ce:surname></sb:author><sb:author><ce:given-name>J.</ce:given-name><ce:surname>Parisi</ce:surname></sb:author><sb:author><ce:given-name>B.</ce:given-name><ce:surname>Roehner</ce:surname></sb:author></sb:authors></sb:contribution><sb:host><sb:issue><sb:series><sb:title><sb:maintitle>Phys. Rev. D</sb:maintitle></sb:title><sb:volume-nr>10</sb:volume-nr></sb:series><sb:date>1974</sb:date></sb:issue><sb:pages><sb:first-page>1561</sb:first-page></sb:pages></sb:host></sb:reference></ce:bib-reference><ce:bib-reference id="br0070"><ce:label>[7]</ce:label><sb:reference><sb:host><sb:edited-book><sb:editors><sb:editor><ce:given-name>L.</ce:given-name><ce:surname>Lewin</ce:surname></sb:editor></sb:editors><sb:title><sb:maintitle>Structural Properties of Polylogarithms</sb:maintitle></sb:title><sb:book-series><sb:series><sb:title><sb:maintitle>Math. Surveys Monogr.</sb:maintitle></sb:title><sb:volume-nr>vol. 37</sb:volume-nr></sb:series></sb:book-series><sb:date>1991</sb:date><sb:publisher><sb:name>Amer. Math. Soc.</sb:name><sb:location>Providence, RI</sb:location></sb:publisher></sb:edited-book></sb:host></sb:reference></ce:bib-reference></ce:bibliography-sec></ce:bibliography></ja:tail></ja:article></doc:document>