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Gauge-gravity duality in low dimensions

Jan 21, 2025
163 pages
Thesis: PhD
  • Mainz U.
(2025)
  • Published: Jan 21, 2025
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Abstract: (Mainz U.)
This thesis studies formal aspects of the gauge/gravity duality in the context of ensemble averaged holography. The former states that a (quantum)gravitational theory on a d-dimensional space can be identified with a quantum gauge theory on the boundary of this space—which is (d − 1)-dimensional. In ensemble average holography, the boundary theory is not a single theory but an ensemble of theories. That is to say, to match boundary quantities—such as partition functions—to bulk quantities we have to take an average over the ensemble of boundary theories. Here we focus on d = 2 and d = 3.For d = 2, we study the established duality between Jackiw-Teitelboim (JT) gravity—a gravitational theory in two-dimensions which includes a scalar field—and random matrices. The latter can be seen as an ensemble of Hamiltonians on the one-dimensional boundary. We approach the problem from a topological gravity point of view in the sense that we express partition functions of JT gravity in terms of topological gravity correlators which obey the Korteweg-de Vries (KdV) hierarchy—a infinite system of differential equations. This approach is applied in particular to deformations of JT gravity, i.e. JT gravity with a more general potential, to map solutions of the KdV hierarchy to classes of JT deformations. This is explicitly achieved for a particular JT deformation, namely the one that introduces conical defects in the bulk manifold. We formulate generalisations to JT partition functions that when evaluated at specific values of their arguments give back the known JT partition functions and study their low temperature expansions with a focus on the ones that correspond to conical defects.For d = 3, we focus on ensemble averages of Narain conformal field theories (CFTs) and their bulk duals. We start with a treatment of the former, by discussing how one can calculate ensemble averages of partition functions of such CFTs using the Siegel-Weil formula and generalise this to supersymmetric versions of Narain CFTs. Then, we introduce two classes of Z_2 Narain orbifolds called “factorisable” and “non-factorisable” and calculate the ensemble averages of their partition functions as well. Next, we treat symmetric product orbifolds of Narain CFTs and calculate ensemble averages of partition functions and correlators of twists fields.Having discussed the technical details of Narain CFTs, orbifolds and their ensemble averages, we move on to study their potential bulk duals. Starting with the known Narain-U(1) gravity correspondence, we propose a bulk dual for the ensemble average of the symmetric product orbifold of Narain CFTs which can reproduce parts of the boundary ensemble averaged partition functions and correlators. Also, we generalise this to the supersymmetric case (at least for the partition functions). Finally, we speculate on ensemble averages of products of arbitrary CFTs and exemplify these ideas using products of Narain CFTs and the “factorisable” and “non-factorisable” orbifolds.Diese Arbeit untersucht formale Aspekte der Gauge/Gravitations-Dualität im Kontext der ensemblegemittelten Holographie. Ersteres besagt, dass eine (Quanten-)Gravitationstheorie auf einem d-dimensionalen Raum mit einer Quantenfeldtheorie am Rand dieses Raums—welcher (d − 1)-dimensional ist—identifiziert werden kann. In der ensemblegemittelten Holographie ist die Randtheorie keine einzelne Theorie, sondern ein Ensemble von Theorien. Das bedeutet, dass wir, um Randgrößen—wie z. B. Partitionsfunktionen—mit Bulk-Größen abzugleichen, einen Durchschnitt über das Ensemble der Randtheorien nehmen müssen. Hier konzentrieren wir uns auf die Fälle d = 2 und d = 3.Für d = 2 untersuchen wir die etablierte Dualität zwischen Jackiw-Teitelboim (JT) Gravitation—eine Gravitationstheorie in zwei Dimensionen, die ein Skalarfeld beinhaltet—und Zufallsmatrizen. Letztere können als ein Ensemble von Hamiltonoperatoren auf dem eindimensionalen Rand angesehen werden. Wir nähern uns dem Problem aus der Sicht der topologischen Gravitation, indem wir Partitionsfunktionen der JT-Gravitation in Bezug auf Korrelationen der topologischen Gravitation ausdrücken, welche der Korteweg-de Vries (KdV) Hierarchie gehorchen—ein unendliches System von Differentialgleichungen. Dieser Ansatz wird insbesondere auf Deformationen der JT-Gravitation angewendet. D.h. JT-Gravitation mit einem allgemeineren Potential, so dass Lösungen der KdV-Hierarchie auf Klassen von JT-Deformationen abgebildet werden. Dies wird explizit für eine bestimmte JT-Deformation erreicht, nämlich die, die konische Defekte in der Bulk-Mannigfaltigkeit einführt. Wir formulieren Verallgemeinerungen zu JT-Partitionsfunktionen, die bei spezifischen Werten ihrer Argumente die bekannten JT-Partitionsfunktionen reproduzieren, und untersuchen deren Niedrigtemperaturentwicklungen insbesondere diejenigen, die konische Defekte haben.Für d = 3 konzentrieren wir uns auf Ensemblemittelwerte von Narain-konformen Feldtheorien (CFTs) und deren Bulk-Dualitäten. Wir beginnen mit einer Behandlung der ersteren, indem wir diskutieren, wie man Ensemblemittelwerte von Partitionsfunktionen solcher CFTs mithilfe der Siegel-Weil-Formel berechnen kann und verallgemeinern diese auf supersymmetrische Versionen von Narain-CFTs. Anschließend führenwir zwei Klassen von Z_2 Narain-Orbifolds ein, die als „faktorisierbar“ und „nicht faktorisierbar“ bezeichnet werden, und berechnen ebenfalls die Ensemblemittelwerte ihrer Partitionsfunktionen. Als nächstes behandeln wir symmetrische Produktorbifolds von Narain-CFTs und berechnen Ensemblemittelwerte von Partitionsfunktionen und Korrelationen von Twist-Feldern.Nachdem wir die technischen Details von Narain-CFTs, Orbifolds und deren Ensemblemittelwerten besprochen haben, wenden wir uns deren potenziellen Bulk-Dualitäten zu. Beginnend mit der bekannten Narain-U(1)-Gravitationskorrespondenz schlagen wir ein duale Bulk-Formulierung für den Ensemblemittelwert der symmetrischen Produktorbifolds von Narain-CFTs vor, das Teile der ensemblegemittelten Rand-Partitionsfunktionen und deren Korrelationen reproduzieren kann. Außerdem verallgemeinern wir dies auf den supersymmetrischen Fall (zumindest für die Partitionsfunktionen).Schließlich spekulieren wir über Ensemblemittelwerte von Produkten beliebiger CFTs und veranschaulichen diese Ideen anhand von Produkten von Narain-CFTs und den „faktorisierbaren“ und „nicht faktorisierbaren“ Orbifolds.